我们必须检 查 坐标满 足 ( 3 ) 的点 M ( z必威体育首页

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文章关键词:betway必威体育,椭圆性常数

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  维普资讯 歹 一 一 一 一 竺 竺 兰 ! 2 l 竺 : 兰 竺 ! 竺 6 n k) = C ( 1 —3 k ) 2 n +1 ] 例 6 设 z, , >0 , 且z ++z :1 , 求 ≥^ [ ( 2 十1 ) T一2 n ^ / q - ( 2 n + 1 ) , 2 n k + ( 2 n + 1 ) 一 2 n k ] } + 告 + 的 最 小 值 . ( 1 9 9 0 年 日 本 I M O 代 表第一轮选拨题) 解 对任意 ^ >0 , ( ^ 是代定常数, 下同) 由( 2 ) 得 ( 1 2 2 2 1+ 4 + 9=^ 十再 3 2 ) 扣( 2 n + 当1 3 k =0即^ =÷时, f ( n ) 有最小 值, ( n ) = . = 十 z V 例 8 设 “ . 6 ∈R , 试 求 函 数 g= ( “ +1 ) .( 6 +3 ) +1 ) .( 6 +3 ) ——广 十 —■~ 与 y= — r一 十 _ 一 ≥^ ( 2 ?1 一^ z+ 2?2 -k y+ 2?3 -k z ) =^ ( 1 2 -k ) ( 为 常数 ) 当^ =1 , k y =2 , h =3时取等 号 , 此时 ^ z + k y + k z  ̄ - k ( z - t - y + ) = 一 6 , 所以 当 一 亡, = 的最小值. ( 数学通报第 1 0 2 5 号问题 ) 解 对任意 ^ >o , 由( 2 ) 得 = ÷ . ÷ 时 有 ( + + 导 ) = 6 X ( 1 2 6 )= 36 . ( + ] ≥^ [ 2 < 4 +1 ) -k b +2 ( 6 +3 ) -k a ) 一 — [ ( 2 一^ ) 十6 ) +8 ) 例7 若 , , ≥O , ++= 1 ,必威体育首页 f( n ) =z 刊+ y + 州( ∈N U ( 0 } ) , 试 求 - ' . 当2 - k =0 即 =2 时, 有g = i 2 X8 = l 6? ’ f ( n ) 的最小值. ( 数学通报第 6 7 4 号 问题) 同理 , 得“ 一2 7 . ’ f ④ 椭固 羊 欹 钇 连 , \ 柙 羊 欹 , 忱建, y j \ 柙 . ) ] : 2 ) 椭 圆定 义 中 的 常 数 与 轨 迹 的 类 型 张 会 ( 甘 肃 教 育 学 院 敫 系T 3 o 。 。 。 ) l 7 纪 在椭圆的定义中, 若把常数的限制( 大于 化简且依题意可得动点 P的轨迹 为 f y 2 =0, l F F : l , 其中F . , F 2 为两定点 ) 放宽, 对等于 l F F l 与小于 l F — l 进行讨论, 会得到两个 十分有意义的结论. 命麓 1 设两定点 F 、 F t 所连线 c . 若动点 P F - 和z 的距离之和恰 好等于 2 c , 则 P点的轨迹不是椭暇而只是线 . I - C ≤ ≤ 这 正是 z轴 上的 闭线段 F. F ‘ 龠爱 2 设平面上两 定点 F . 、 F 2 所连线 c . 若动点 P到 . 和F 的距离 之和是一小于 2 的正常数 知, 则 P点的轨 迹 r是 以 2 。 为实轴长 , 以2 c 为焦距的双曲 线 上的所 有虚 点. 证 设 证 取线段 F l F : 的 中点 O 为原 点, 建 立平面直角坐标系 , 设两定点为 F t ( 一c , O ) , F 2 ( c , O ) , 动点为 P( , ) , 则由 ? 取 平面 直 角 坐 标 系如 命 题 1所述 , , i = 再 可 + 一 厄 干=2 l l +l l =2 a . ( 2 ) 维普资讯 1 9 9 7年第 2 期 教 学 教 学 研 究 但0 <2 “ <2 c =l l , 故有 =2 a ( 3 ) 、 厅 = F + . 厅F 整理 可得 一 =1 . 设 > 。 , 令 = 2 a , 樽 z = 譬 , 此 时 譬 》 = 一 < o . 于 是虚 点 " - 2 . 士 生 1 既 满足( 2 ) 又 满足 ( 3 ) . 由于 f >“ >0 . r “ >0 , 此 方程 表 示一 以 2 a 为实轴长, 以2 为焦距的双曲线 ) 是 由条 件 ( 2 ) 推 出的 , 故 轨迹 r 上的点 必满 足此 方 程. 设 < o , 令 一 一 警 z = 2 , 又 得 虚 点 我们当然不能由此惭言在条件> >o 下, 所求轨迹 r就是双曲线 ) . 由于在推导 【 一 譬 , 士 等 它们 既满 足 ( 2 ) 又满 足 ( 3 ) . ( 3 ) 的 过程中曾将等式两次平方, 我们必须检 查 坐标满 足 ( 3 ) 的点 M ( z , ) 是 否都 在 r上 . 若双曲城( ) 上的点 M( x , ) 的横坐标 满足 l l <“ , 则其纵坐标 y 必取数值. 先计算 l l 和l ' I . 由( 3 ’ 有 / 壁 y ( 一“ ) f a 2 一 l I . 1 玎 l =、 瓜 = 以 上分析袅萌, 芜论 l 取何实数值, 双 曲 线 ) 上 都 没有 挛点M“, ) 满足( 2 ) . y取任惫 实数 值 m时, 其横坐标 = 士n 当双曲 线 ) 上 l 曲点肘 z . ) 的纵坐 标 √ ( 枷 ) : 争t ) 、 / + 害渔 实 薮 值 . 至 此 我 们 已经证 明 了轨 迹 r上无 实点 , , = J  ̄ - 2 c x + z — I 一 a I . 双曲 线 ) 上 有四 个 虚点 同 理I j l + l a 由( 3 ) 有z 。 ≥a 。 , I zl ≥l a 1 . 故 在 r上. 士 生, 1 『 I = 詈 l z I ≥ ÷ ? a = > . . . . ÷ z ~ a , ÷ z + “ 与 ÷ z 的 符 号 一 致. 现证明双t l t l 钱( 3 ) 上的所有虚点都在 r 上. 首 先记 ( 3 ) 中的 一“ 一6 。 . 设。 一 e +f l 是权曲 线 ) 上任一虚点, 的横坐 标, 此处, ,是实数, 是虚散单位, 则 J的纵坐标满足 当x >O 时. I 丽 l + I 丽 l = ÷ z + a + 一 = . 当x <O时 , l j I +I 】 l = 一 一 2 = 6 ( 善 一 1 ) 一 筹 E ( + ) 。 一 。 。 ) 蓦 一 a … - f + 2 以 口 d t l +: 一 . l I +I I = 从此两式可知 , 对于 曲线 ) 上的点 M , 一般 地 l j I +I 件I l +l l ≠2 n . + 我们进一步考察( 3 ) 上的哪些点满足条 J 。 + , l — c ) : + 筹 。 一 : 一 , + 2  ̄ / i ) J + f i - { - ) 。 + 等 : 一 a 。 一 , 。 + 2 f i ) . I =2 a . 令 此式 的 右 边 为 2 , 整 可 得 一 恒 等 维普资讯 数 学 教 学 研 究 1 9 9 7年第 2期 式, 故双 曲线 ) 上 横 坐标 为复数 的 虚点 都 在 迹 r上 同理 - ( 0 ) 上纵坐标 为复 数的 虚点都 在轨 , 。 , l : I L ‘r i , 角 { ? 1 。 , z . 广 义 摆 线 的 方 程 _ 一 安 匡 一 t 兰 卅 l 化 工 学 校? 3 ∞ 6 n j 、 . . . 方程的基本形式 若 曲线 -j(  ̄ ) 在[ “ . D ] 上 连续 . 在( “ . 6 ) 内具 有二 阶导 数 . 我 们称半径 为 , 的 动 圆周 某 一 定点 j 沿, 一, ( ) 无 滑 动地 滚动所 形成 的轨 迹 口 广义摆 线. 据, 一,必威体育首页 ( ) 的凸 凹性 . 笔者分 别 二 导 方 程 得到厂 义摆 线 方程的 两种 基本形 式 , 如表 1 所示 . 下面我们仅就表 中( 1 ) 关于y  ̄f ( s ) 在 ≥0 , , ≥0的情形作一推导, 对y ≤0 ,必威体育首页 及 表中 ( 2 、 ( 3 ) 、 ( 4 ) 中的各 种情形 可类 似 推导. _ l 以 设 运 动开 始时动 点 尸与 曲线 y =,( ) 上的 点 A 重合 动 圆 隧心 为 【 ’ ( 如图 1示 ) . 经过某 一 过程 后 , 动剧 与 曲线 弧的接 触点 为 Q( , ) , P点 的坐标 为c , 7 ) 表】 = , } 的 叫凸 广义摆线 的直角坐标参数方程t r为参数 、 直角坐 渐系 } 0 f与 ’ J系 重 台 ) f I J ) ( ” ≥ 0 ) 凸 ( ” ≤ 0 ) 其 中 ) , ÷ √ _ 而 』 2 l ; . 动 定 } 曲 ( ‘ , ] J … — 志… : : = ; ‘ 。 : 。 , j 的 凸 删 O { 。 船 J i I \ , 1 y = , … 』 | l 4 } I l - 动 定 圆 曲 在 线 f 的凹侧 一 … … f L。 " - z R( T) >r 。 童 一 ~ ( 3 J ( 注: R L ) 为定 曲线 , 扛) 在妇 , ) 赴的曲率半 径. QT为 曲线在 Q 点的 切线 . r 为切 线 与 z轴 的 交点 , 为切 线 的 倾斜 角 . 设 Q CP= ) . 由于 ̄ 2 P=A Q, 所 以有 r g  ̄ ( z )= 1 √ 1+ J … ( ) d u. 即 ( z ) =÷l、 厅7 可 . 又 . ’ Z PCD= r r  ̄ 一 口一 ._ . . ,Q s i n a Dc:r s i n ( o r  ̄口 ) . £ 因此 :0 P1 0 电 一P C, 一c 1 9l =O Q1 一D—F Q “r n ( 一口 ) 一r s i n a .

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